פתרון מערכת בת N משואות בעלות N נעלמים בעזרת "אקסל"

פתרון מערכת בת N משואות בעלות N נעלמים בעזרת "אקסל"

בבית-הספר (היסודי והתיכון...) למדנו שלוש שיטות לפתרון מערכת של שתי משואות בעלות שני נעלמים:

א.    שיטת השוואת המקדמים

ב.     שיטת ההצבה

ג.      השיטה הגרפית

אני רוצה להציג שיטה חדשה, לפתרון מערכת בת  n משוואות בנות n נעלמים.

אנו נדגים את השיטה לפתרון מערכת בת 2 משוואות בנות שני נעלמים, אבל אפשר כמובן ליישם אותה גם לפתרון מערכת בת 3 משוואות בנות 3 נעלמים, מערכת בת 4 משוואות בנות 4 נעלמים וכו'.

השיטה נעזרת בתוכנת "אקסל".

נתונה מערכת המשואות:

תמונה 01: מערכת משואות – שתי משואות בנות שני נעלמים

ראשית, נדגים כיצד נפתור אותה באמצעות שלוש השיטות המוכרות ואז אסביר כיצד ליישם את השיטה החדשה.

שיטה א: פתרון בשיטת השואת המקדמים

תמונה 02: שיטת השואת המקדמים - מציאת ערך X

נציב במשואה הראשונה את ערך X שמצאנו (4) כדי למצוא את ערך Y:

    

תמונה 03: שיטת השואת המקדמים - מציאת ערך Y

תמונה 04: פתרונות המשואה

                       

שיטה ב: פתרון בשיטת ההצבה

תמונה 05: מערכת משואות – שתי משואות בנות שני נעלמים

נבטא את X בעזרת Y ("נחלץ" את X מהמשואה השניה)

                                                תמונה 06: "חִלוּּץ" X מהמשוואה השניה

ואז נציב במשואה הראשונה

תמונה 07: המשוואה הראשונה

את ערך X (3-Y) שחילצנו מהמשואה השניה:

תמונה 08: נציב במשואה הראשונה את X שחילצנו מהמשוואה השניה

ונקבל:

תמונה 09: מציאת Y

לאחר שמצאנו את Y (=-1), נציב במשואה הראשונה כדי למצוא את ערך X:

תמונה 10: כעת נציב במשואה הראשונה את Y שמצאנו

והתוצאה:

תמונה 11: פתרונות המשואה

שיטה ג: פתרון בשיטה הגרפית

בשיטה זו משרטטים את הגרפים של שתי הפונקציות.

קואורדינטות נקודת החתוך (,-14)A של שני הגרפים הן ערכי הפתרון (X, Y)

                      תמונה 12: שיעורי נקודת החתוך בין שני הגרפים הם הפתרונות

בגרף אפשר לראות שנקודת החתוך היא A(4, -1)

שיטה ד: השיטה החדשה – שמוש ב"אקסל"

היום נלמד שיטה חדשה, פתרון מערכת של שתי משואות בעלות שני נעלמים בעזרת "אקסל".

אנו מסתמכים על העובדה שבעצם שתי המשואות הן מטריצות

תמונה 13: נבטא את מערכת המשוואות כמכפלה של מטריצות

המטריצה הראשונה היא מטריצת המקדמים (Coefficients):

תמונה 14: המטריצה של מקדמי הנעלמים

המטריצה השניה היא וקטור (=מטריצה בת עמודה אחת) של הנעלמים (unknowns):

תמונה 15: המטריצה של הנעלמים

המטריצה השלישית היא וקטור הערכים (Values):

תמונה 16: המטריצה של הערכים

כדי למצוא את פתרונות מערכת המשואות, עלינו למצוא את וקטור הנעלמים:

וקטור הנעלמים = וקטור הערכים * המטריצה ההפוכה של מטריצת המקדמים

 תמונה 17: וקטור הנעלמים כמכפלת שתי המטריצות: מקדמים וערכים

שלבי הפתרון:

א.   נרשום את ערכי מטריצת המקדמים בתאים: A7:B8

                       המקדמים במשואה הראשונה:                    -1        1

                        המקדמים במשואה השניה:                        1          1

              תמונה 18: המטריצה של מקדמי הנעלמים [A7:B8]

ב.    נרשום את ערכי וקטור הערכים בתאים:  G7:G8

תמונה 19: וקטור הערכים [G7:G8]

                  

ג.     כדי לחשב את המטריצה ההפוכה, נשתמש בפונקציה: MINVERSE.

נסמן את התאים: D7:E8ובתא D7 נכתוב את הנוסחא:

MINVERSE(A7:B8)

שימו לב, מכיון שמדובר בנוסחת מערך, לא נסיים בהקשת Enter אלא בהקשת: Ctrl+Shift+Enter. "אקסל" יקיף בסוגריים מסולסלים את הנוסחא.

 תמונה 20: חישוב המטריצה ההפוכה בתאים: D7:E8

ד.    כעת, נסמן את תאים: E13:E14 ונכתוב את הנוסחא:

MMULT(D7:E8,G7:G8)

          גם כאן נסיים בהקשת: Ctrl+Shift+Enter, כי גם כאן מדובר בנוסחת מערך.

          הסבר:

      הפונקציה  MMULT היא פונקציה המחזירה את מכפלת שני המערכים

D7:E8 ו- G7:G8.

המערך: D7:E8 מכיל את המטריצה ההפוכה שמצאנו בשלב ג.

המערך: G7:G8 מכיל את וקטור הערכים שבנינו בשלב ב.

תוצאת הפונקציה: בתאים E13:E14

תא: E13 מכיל את הפתרון עבור X

תא: E14 מכיל את הפתרון עבור Y

תמונה 21: בתא E13 קבלנו את תוצאת X (4) ובתא E14 קבלנו את תוצאת Y (-1).

ואכן, תשובות אלו תואמות את התשובות שקבלנו ב-3 השיטות המסורתיות. 

 לסיום, נדגים את השמוש בשיטה החדשה לפתרון מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים כל אחת:

תמונה 22: מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים

והפתרון:

תמונה 23: פתרון מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים