פתרון מערכת בת N משואות בעלות N נעלמים בעזרת "אקסל"

פתרון מערכת בת N משואות בעלות N נעלמים בעזרת "אקסל"

בבית-הספר (היסודי והתיכון...) למדנו שלוש שיטות לפתרון מערכת של שתי משואות בעלות שני נעלמים:

א.    שיטת השוואת המקדמים

ב.     שיטת ההצבה

ג.      השיטה הגרפית

אני רוצה להציג שיטה חדשה, לפתרון מערכת בת  n משוואות בנות n נעלמים.

אנו נדגים את השיטה לפתרון מערכת בת 2 משוואות בנות שני נעלמים, אבל אפשר כמובן ליישם אותה גם לפתרון מערכת בת 3 משוואות בנות 3 נעלמים, מערכת בת 4 משוואות בנות 4 נעלמים וכו'.

השיטה נעזרת בתוכנת "אקסל".

נתונה מערכת המשואות:

תמונה 01: מערכת משואות – שתי משואות בנות שני נעלמים

ראשית, נדגים כיצד נפתור אותה באמצעות שלוש השיטות המוכרות ואז אסביר כיצד ליישם את השיטה החדשה.

שיטה א: פתרון בשיטת השואת המקדמים

תמונה 02: שיטת השואת המקדמים - מציאת ערך X

נציב במשואה הראשונה את ערך X שמצאנו (4) כדי למצוא את ערך Y:

    

תמונה 03: שיטת השואת המקדמים - מציאת ערך Y

תמונה 04: פתרונות המשואה

                       

שיטה ב: פתרון בשיטת ההצבה

תמונה 05: מערכת משואות – שתי משואות בנות שני נעלמים

נבטא את X בעזרת Y ("נחלץ" את X מהמשואה השניה)

                                                תמונה 06: "חִלוּּץ" X מהמשוואה השניה

ואז נציב במשואה הראשונה

תמונה 07: המשוואה הראשונה

את ערך X (3-Y) שחילצנו מהמשואה השניה:

תמונה 08: נציב במשואה הראשונה את X שחילצנו מהמשוואה השניה

ונקבל:

תמונה 09: מציאת Y

לאחר שמצאנו את Y (=-1), נציב במשואה הראשונה כדי למצוא את ערך X:

תמונה 10: כעת נציב במשואה הראשונה את Y שמצאנו

והתוצאה:

תמונה 11: פתרונות המשואה

שיטה ג: פתרון בשיטה הגרפית

בשיטה זו משרטטים את הגרפים של שתי הפונקציות.

קואורדינטות נקודת החתוך (,-14)A של שני הגרפים הן ערכי הפתרון (X, Y)

                      תמונה 12: שיעורי נקודת החתוך בין שני הגרפים הם הפתרונות

בגרף אפשר לראות שנקודת החתוך היא A(4, -1)

שיטה ד: השיטה החדשה – שמוש ב"אקסל"

היום נלמד שיטה חדשה, פתרון מערכת של שתי משואות בעלות שני נעלמים בעזרת "אקסל".

אנו מסתמכים על העובדה שבעצם שתי המשואות הן מטריצות

תמונה 13: נבטא את מערכת המשוואות כמכפלה של מטריצות

המטריצה הראשונה היא מטריצת המקדמים (Coefficients):

תמונה 14: המטריצה של מקדמי הנעלמים

המטריצה השניה היא וקטור (=מטריצה בת עמודה אחת) של הנעלמים (unknowns):

תמונה 15: המטריצה של הנעלמים

המטריצה השלישית היא וקטור הערכים (Values):

תמונה 16: המטריצה של הערכים

כדי למצוא את פתרונות מערכת המשואות, עלינו למצוא את וקטור הנעלמים:

וקטור הנעלמים = וקטור הערכים * המטריצה ההפוכה של מטריצת המקדמים

 תמונה 17: וקטור הנעלמים כמכפלת שתי המטריצות: מקדמים וערכים

שלבי הפתרון:

א.   נרשום את ערכי מטריצת המקדמים בתאים: A7:B8

                       המקדמים במשואה הראשונה:                    -1        1

                        המקדמים במשואה השניה:                        1          1

              תמונה 18: המטריצה של מקדמי הנעלמים [A7:B8]

ב.    נרשום את ערכי וקטור הערכים בתאים:  G7:G8

תמונה 19: וקטור הערכים [G7:G8]

                  

ג.     כדי לחשב את המטריצה ההפוכה, נשתמש בפונקציה: MINVERSE.

נסמן את התאים: D7:E8ובתא D7 נכתוב את הנוסחא:

MINVERSE(A7:B8)

שימו לב, מכיון שמדובר בנוסחת מערך, לא נסיים בהקשת Enter אלא בהקשת: Ctrl+Shift+Enter. "אקסל" יקיף בסוגריים מסולסלים את הנוסחא.

 תמונה 20: חישוב המטריצה ההפוכה בתאים: D7:E8

ד.    כעת, נסמן את תאים: E13:E14 ונכתוב את הנוסחא:

MMULT(D7:E8,G7:G8)

          גם כאן נסיים בהקשת: Ctrl+Shift+Enter, כי גם כאן מדובר בנוסחת מערך.

          הסבר:

      הפונקציה  MMULT היא פונקציה המחזירה את מכפלת שני המערכים

D7:E8 ו- G7:G8.

המערך: D7:E8 מכיל את המטריצה ההפוכה שמצאנו בשלב ג.

המערך: G7:G8 מכיל את וקטור הערכים שבנינו בשלב ב.

תוצאת הפונקציה: בתאים E13:E14

תא: E13 מכיל את הפתרון עבור X

תא: E14 מכיל את הפתרון עבור Y

תמונה 21: בתא E13 קבלנו את תוצאת X (4) ובתא E14 קבלנו את תוצאת Y (-1).

ואכן, תשובות אלו תואמות את התשובות שקבלנו ב-3 השיטות המסורתיות. 

 לסיום, נדגים את השמוש בשיטה החדשה לפתרון מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים כל אחת:

תמונה 22: מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים

והפתרון:

תמונה 23: פתרון מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים

עד כמה אתם טובים באנגלית? How good is your English

עד כמה אתם טובים באנגלית? How good is your English

שאלה:

מה המשותף למילים הבאות:

·        lead

·        live

·        bow

·        desert

·        tear

·        use

·        record

·        convert

·        perfect

·        extract

·        wind

·        read

·        contract

·        subject

·        …..

תשובה:

לכל אחת מהמילים ברשימה [וכמובן יש עוד מילים כאלו, הרשימה - חלקית], יש יותר מפירוש אחד. במשמעויות שונות – המילים האלו נשמעות אחרת, למרות שהן נכתבות בדיוק אותו דבר.

[כדי לשמוע כיצד נשמעת בדיוק המילה, תוכלו ללחוץ על הקישור המקדים את המשפט המדגים]

הערה חשובה:

יש להדגיש, שבאנגלית יש הרבה מילים מרובות משמעות – אשר גם נכתבות וגם נשמעות בדיוק אותו דבר.

למשל:

date = תאריך, וגם: פגישה, וגם: פרי התמר

light = אור, וגם: קל [במשקל]

letter = מכתב, וגם: אות [כתובה]

מילים מקבוצה זו נקראות: Homonym

אנו נעסוק במילים מרובות משמעות [המילים ברשימה]- הנכתבות אותו דבר אך נשמעות אחרת.

מילים מקבוצה זו נקראות: Heteronym

מספר דוגמאות:

1)     המילה "lead" משמעותה גם: להוביל, להנהיג וגם: עופרת.

                     

כאשר משמעותה היא להוביל, להנהיג [או: הובלה, הנהגה] היא נשמעת "לִיד"

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/l/lead0001.wav

ובמשפט:

Lance Armstrong took the lead in the race.

לאנס ארמסטרונג נטל את ההובלה במירוץ.

כאשר משמעותה היא עופרת, היא נשמעת: "לֶד" (כמו בשם להקת הרוק האגדית: "לֶד זֶפֶּלִין")

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/l/lead0004.wav

ובמשפט:

Beethoven died of  lead poisoning.

בטהובן מת מהרעלת עופרת.

2)     המילה "live" משמעותה גם: לחיות, להיות בחיים, לגור וגם: חי [גם במובן של ישיר, כמו:שידור חי וגם במובן של יצור חי, שיש בו חיים]

כאשר משמעותה היא לחיות, היא נשמעת "לִיב"

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/l/live0001.wav

ובמשפט:

I live in Ramat Gan.

אני חי [מתגורר] ברמת גן.  

כאשר משמעותה היא חי/שיש בו חיים, היא נשמעת "לַייב"

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/l/live0002.wav

We are watching a live performance of Beyoncé on TV.

אנו צופים בהופעה חיה של ביונסי בטלוויזיה.

3)     המילה "desert" משמעותה גם: מִדְבָּר וגם: לנטוש, לעזוב

כאשר משמעותה היא מדבר, היא נשמעת "דֶזֶרְט"

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/d/desert01.wav

The pilot survived after his plane crashed in the desert.

הטייס נותר בחיים    לאחר שמטוסו התרסק במדבר.

כאשר משמעותה היא לנטוש, היא נשמעת "דִיזֶרְט"

[בדיוק כמו במילה: dessert = קינוח]

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/d/desert04.wav

You don't desert your friends when they need you.

אתה לא נוטש את חבריך כאשר הם זקוקים לך.

שאלה:

אז איך יודעים מה משמעות המילה במשפט?

תשובה:

לפי ההקשר ולפי תפקיד המילה במשפט.

למשל:

המילה "use" משמעותה גם: שימוש, תועלת, טעם, תכלית [שם-עצם] וגם: להשתמש [פועל].

כאשר משמעותה היא שימוש [שם-עצם], היא נשמעת "יוּס"

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/u/use00001.wav

She found a new use for the broken jar.

היא מצאה שימוש חדש לצנצנת השבורה.

כאשר משמעותה היא להשתמש [פועל], היא נשמעת "יוּז"

(הקלק על הקישור כדי לשמוע:)

http://media.merriam-webster.com/soundc11/u/use00002.wav

Be careful when you use this sharp knife.

הזהר כאשר אתה משתמש בסכין החדה הזו.