הבלוג של מני

אקסל לעזרת התלמיד: המִשְוָאָה הרִבּוּעִית

אחד היתרונות של תוכנת "אקסל" הוא ביכולתה לבצע חִשוב מהיר של נוסחאות ובקצור זמן הפתרון.

קחו לדוגמא את המשואה הרבועית (הידועה גם בשם: משואה ממעלה שניה).

צורתה הכללית:

תמונה 001: המשואה הרבועית – נוסחא כללית

הנעלם הוא: X והפרמטרים: a, b, c הם המקדמים.

כדי לפתור את המשואה, אנו מציבים בנוסחה הבאה שלה שני פתרונות אפשריים (X₁, X₂):

תמונה 002: שני פתרונות המשואה הרבועית

הפתרון הראשון:

תמונה 003: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 1

והפתרון השני:

תמונה 004: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 2

הבִּטוּי מתחת לסימן השרש הרבועי נקרא דיסקרימיננטה (או: דלתא Δ)

תמונה 005: דיסקרימיננטה - דלתא (Δ)

ה- Δ קובעת מה מספר הפתרונות שיהיו למשואה (0, 1 או 2):

אם ערכה שלילי - למשואה אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין לה פתרונות שהם מספרים ממשיים)

אם ערכה = 0 - למשואה יש רק פתרון אחד (שֹרש אחד)

אם ערכה חיובי - למשואה יש שני שֹרשים.

אנו נדגים שלֹש משואות רבועיות, שלהן 3 ערכי Δ שונים: חיובי, 0 ושלילי ונדגים את שיטת הפתרון בכל מקרה בעזרת "אקסל".

א. דוגמא 1: המשואה: X²+6X-5=0

(Δ חיובית ולמשואה שני פתרונות)

תמונה 006: המשואה הראשונה (2 פתרונות)

כדי לפשט את הפתרון ב"אקסל", נגדיר את ה- Δ כשם (Defined Name)

1) נכתוב את ערכי המקדמים (-1, 6, -5) בתאים: , F2, G2E2 -בהתאמה

-1X² + 6 X -5 = 0

תמונה 007: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2) נכתוב את הנוסחא לחשוב Δ בתא: H2

Δ = b² – 4ac = 6² – 4*(-1)*(-5) = 36-20=16

תמונה 008: הנוסחא לחִשוּבΔ בתא: H2

הבטוי בתא: H2 ערכו = 16

F2^2-(4*E2*G2) = 6^2- (4*-5*-1) =36-20=16

3) את הנוסחא בתאH2 נגדיר ב"מנהל השמות" (Name Manager) כ- Discr

תמונה 009: הגדרת Discr ב"מנהל השמות" (Name Manager)

הנוסחא הכללית למציאת השֹרש הראשון: X₁

תמונה 010: הנוסחא הכללית למציאת השרש הראשון

והיא תתורגם ב"אקסל" כך:

תמונה 011: הנוסחא למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

נוסחא זו טובה למציאת השֹרש הרבועי כאשר Δ איננה שלילית. אבל ב"אקסל" אי-אפשר להוציא שֹרש ממספר שלילי. לכן, "נעטוף" הנוסחא ב- IF אשר יבדוק אם ה- Δ היא שלילית. אם היא שלילית, תוצג התוצאה: “No Solution”. אחרת - יוצג השֹרש שחושב.

4) בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

תמונה 012: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 013: תוצאת השרש הראשון

באופן דומה, בנוסחא הכללית למציאת השֹרש השני: X₂

תמונה 014: הנוסחא הכללית למציאת השרש השני

נציב את הנוסחא ב"אקסל":

תמונה 015: הנוסחא למציאת השרש השני - ב"אקסל"

5) ובצורתה הסופית, בתא C8:

תמונה 016: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 017: תוצאת השרש השני

מצאנו, אם-כן, שני פתרונות למשואה: X²+6X-5=0

X₁ = 1, X₂= 5

ב. דוגמא 2: המשואה: X²+4x-4=0

(Δ= 0 ולמשואה פתרון אחד)

תמונה 018: המשואה השניה (פתרון אחד)

1) נציב שוב את המקדמים (-1, 4, -4) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה

-1X² + 4X -4 = 0

תמונה 019: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2) התוצאה בתא: H2 תהיה: 0

תמונה 020: הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2

Δ= b² – 4ac = 4² – 4*(-1)*(-4) = 16-16=0

3) בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

תמונה 021: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 022: תוצאת השרש הראשון

4) בתא: C8 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:

תמונה 023: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 024: תוצאת השרש השני

מצאנו, אם-כן, שלמשואה X²+4x-4=0

שני פתרונות זהים (כלומר, פתרון אחד): X₁= X₂= 2.

ג. דוגמא 3: המשואה: X²+3x-5=0

(Δ שלילית ולמשואה אין פתרון)

תמונה 025: המשואה השלישית (ללא פתרונות)

1) נציב שוב את המקדמים (-1, 3, -5) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה

-1X² + 3X -5 = 0

תמונה 026: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2) התוצאה בתא: H2 תהיה: -11

תמונה 027: תוצאה שלילית של הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2

Δ = b²– 4ac = 3² – 4*(-1)*(-5) = 9-20=-11

3) בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

תמונה 028: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 029: תוצאת השרש הראשון (אין פתרון)

4) בתא: C8 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:

תמונה 030: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 031: תוצאת השרש השני (אין פתרון)

מצאנו, אם-כן, שלמשואה זו: X²+3x-5=0

אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין פתרונות עם מספרים ממשיים)

לסִכּוּם, הצגנו את המשואה הרבועית:

הראינו שמספר הפתרונות האפשריים תלוי בערך הדיסקרימיננטה (Δ) (חיובית, 0 או שלילית), ולשם כך פתרנו שלש משואות שונות:

א. במשואה: -X²+6X-5, Δ חיובית ולכן למשואה 2 פתרונות: X1=1, X2=5

ב. במשואה: -X²+4X-4, Δ = 0 ולכן למשואה פתרון אחד: X1=X2=2

ג. במשואה: -X²+3X-5, Δ שלילית ולכן למשואה זו אין פתרונות

כעת, נלך עוד צעד קדימה ונכתוב נוסחא אשר תאמר לנו (על סמך הערכים בתאים C6 ו- C8 שבהם חִשַּבְנוּ את פתרונות המשואה) - כמה פתרונות יש למשואה

(בעצם, כבר אמרנו שאפשר לדעת את מספר הפתרונות לפי הדיסקרימיננטה, אבל אנו רוצים לדעת את מספר הפתרונות לפי הפתרונות עצמם.)

בתא B12 נכתוב את הנוסחא הבאה:

תמונה 032: כיצד נוכל לדעת כמה פתרונות יש לצמד הנוסחאות ב- C6 וב- C8

הסבר:

נפצל את הנוסחא לשני חלקים על מנת להקל על ההסבר:

תמונה 033:שני חלקי הנוסחא- Main Formula & Wrapper

1) החלק העיקרי ("לב הנוסחא") –Main Formula -בודק מול תוצאות הנוסחאות המחשבות את פתרונות המשואה: האם התקבל פתרון אחד (כלומר, 2 פתרונות זהים) או שהתקבלו שני פתרונות.

בחלק זה השתמשנו בשלוש פונקציות:

א. הפונקציה DELTA - פונקציה זו משוה בין שני מספרים ובודקת אם הם זהים. אם כן – מחזירה את הערך: 1 (TRUE), אחרת – מחזירה את הערך: 0 (FALSE).

ב. הפונקציה MOD - פונקציה זו מחזירה את השארית בחלוקת מספר (=תוצאת הפונקציה DELTA) במחלק מסוים (במקרה שלנו, המחלק הוא 2). כאשר מחלקים מספר ב-2, השארית יכולה להיות 1 (המחולק הוא מספר אי-זוגי) או שהשארית היא 0 (המחולק הוא מספר זוגי)

ג. הפונקציה IF "עוטפת" את תוצאת שתי הפונקציות (DELTA ו- MOD). לכן, אם תוצאת ה-MOD היא 1 (התנאי מתקיים) - למשואה יש פתרון אחד בלבד. ואם תוצאת ה- MOD היא 0 (התנאי לא מתקיים) - למשואה יש שני פתרונות.

2) את "לב הנוסחא" "עטפנו" בפונקציה IFERROR (Wrapper) אשר "מטפלת" במקרים שבהם אין פתרונות למשואה (כלומר, הערך בתאים C6 ו-C8 איננו מספר). במקרים כאלה, תוצאת הנוסחא תהיה: No Solution

הערה לסיום:אם במקום C6 ו- C8 נשלב בנוסחא את נוסחאות השרשים המקוריות, כלומר:

אזי, נוכל לדעת כמה שרשים למשואה גם מבלי לפתור אותה

אקסל: כיצד מעתיקים תֹכֶן תא כלפי מטה (ללא עכבר!!!!)

הנה טריק להעתיק תֹכן תא לתאים שמתחתיו, ללא שִמוּש בעכבר:

(הטריק נבדק ועובד בגִרסָאות "אקסל" הבאות: 2007, 2010, 2013)

נניח שיש לנו ערך בתא מסוים (A1) ואנו רוצים להעתיק את הערך הזה לתאים: A2:A15.

תמונה 1: אנו רוצים להעתיק את תֹכן תא A1

ההעתקה נעשית בשלֹשה צעדים פשוטים:

שלב א':

בתיבת השם (Name Box) הקלד את התחום הרצוי: A2:A15.

תמונה 2: ב"תיבת השם" (Name Box) נקליד את תחום היעד הרצוי

ואל תשכח להקיש: Enter...

תמונה 3: לאחר הקשת התחום הרצוי (A2:A15)

שלב ב':

הקש: CTRL+’ (התו ’ נמצא בדיוק משמאל למקש ENTER)

תמונה 4: לאחר הקשת CTRL+ ‘

שלב ג':

הקש: CTRL+ENTER

תמונה 5: התוצאה הרצויה לאחר הקשת CTRL+ENTER

וראה זה פלא: תֹכן תא A1 הועתק לתאים הרצויים

לשיטה זו יש לפחות ארבעה יתרונות לעומת שִמוּש בעכבר:

1. אם התחום שאליו רוצים להעתיק הוא מאד גדול (למשל: A2:A2000) , השמוש בעכבר יהיה מאד לא יעיל ולא נוח.

2. אם הערך בתא המקור (A1) איננו מספר וגם איננו טכסט בלבד, אלא הוא תאריך או שילוב של מספרים ואותיות (למשל: "שנת 2010"), אזי גרירה בעזרת העכבר לא תעתיק את תֹכן התא, אלא תיצור רצף של מחרוזות: "שנת 2011", "שנת 2012", "שנת 2013" וכו')

3. בעזרת שיטה זו אפשר להרחיב את תחום תאי היעד ליותר מאשר עמודה אחת. למשל, אם נקליד ב"תיבת השם" את התחום: A2:D14 - תֹכן תא היעד יועתק לארבע עמודות (מה שלא ניתן לעשות באמצעות העכבר)

4. אם תא A1 מכיל נוסחא ולא ערך, הנוסחא תועתק לתאי היעד. אם ברצונך להעתיק את הערך ולא את הנוסחא, בשלב ב' הקש: CTRL+SHIFT+’ במקום: CTRL+’