אקסל לעזרת התלמיד: המִשְוָאָה הרִבּוּעִית
אחד היתרונות של תוכנת "אקסל" הוא ביכולתה לבצע חִשוב מהיר של נוסחאות ובקצור זמן הפתרון.
קחו לדוגמא את המשואה הרבועית (הידועה גם בשם: משואה ממעלה שניה).
צורתה הכללית:
תמונה 001: המשואה הרבועית – נוסחא כללית
הנעלם הוא: X והפרמטרים: a, b, c הם המקדמים.
כדי לפתור את המשואה, אנו מציבים בנוסחה הבאה שלה שני פתרונות אפשריים (X1, X2):
תמונה 002: שני פתרונות המשואה הרבועית
הפתרון הראשון:
תמונה 003: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 1
והפתרון השני:
תמונה 004: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 2
הבִּטוּי מתחת לסימן השרש הרבועי נקרא דיסקרימיננטה (או: דלתא Δ)
תמונה 005: דיסקרימיננטה - דלתא (Δ)
ה- Δ קובעת מה מספר הפתרונות שיהיו למשואה (0, 1 או 2):
אם ערכה שלילי - למשואה אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין לה פתרונות שהם מספרים ממשיים)
אם ערכה = 0 - למשואה יש רק פתרון אחד (שֹרש אחד)
אם ערכה חיובי - למשואה יש שני שֹרשים.
אנו נדגים שלֹש משואות רבועיות, שלהן 3 ערכי Δ שונים: חיובי, 0 ושלילי ונדגים את שיטת הפתרון בכל מקרה בעזרת "אקסל".
א. דוגמא 1: המשואה: X2+6X-5=0
(Δ חיובית ולמשואה שני פתרונות)
תמונה 006: המשואה הראשונה (2 פתרונות)
כדי לפשט את הפתרון ב"אקסל", נגדיר את ה- Δ כשם (Defined Name)
1) נכתוב את ערכי המקדמים (-1, 6, -5) בתאים: , F2, G2E2 -בהתאמה
-1X2 + 6 X -5 = 0
תמונה 007: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2
2) נכתוב את הנוסחא לחשוב Δ בתא: H2
Δ = b2 – 4ac = 62 – 4*(-1)*(-5) = 36-20=16
תמונה 008: הנוסחא לחִשוּבΔ בתא: H2
הבטוי בתא: H2 ערכו = 16
F2^2-(4*E2*G2) = 6^2- (4*-5*-1) =36-20=16
3) את הנוסחא בתאH2 נגדיר ב"מנהל השמות" (Name Manager) כ- Discr
תמונה 009: הגדרת Discr ב"מנהל השמות" (Name Manager)
הנוסחא הכללית למציאת השֹרש הראשון: X1
תמונה 010: הנוסחא הכללית למציאת השרש הראשון
והיא תתורגם ב"אקסל" כך:
תמונה 011: הנוסחא למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"
נוסחא זו טובה למציאת השֹרש הרבועי כאשר Δ איננה שלילית. אבל ב"אקסל" אי-אפשר להוציא שֹרש ממספר שלילי. לכן, "נעטוף" הנוסחא ב- IF אשר יבדוק אם ה- Δ היא שלילית. אם היא שלילית, תוצג התוצאה: “No Solution”. אחרת - יוצג השֹרש שחושב.
4) בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון
תמונה 012: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"
והתוצאה:
תמונה 013: תוצאת השרש הראשון
באופן דומה, בנוסחא הכללית למציאת השֹרש השני: X2
תמונה 014: הנוסחא הכללית למציאת השרש השני
נציב את הנוסחא ב"אקסל":
תמונה 015: הנוסחא למציאת השרש השני - ב"אקסל"
5) ובצורתה הסופית, בתא C8:
תמונה 016: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"
והתוצאה:
תמונה 017: תוצאת השרש השני
מצאנו, אם-כן, שני פתרונות למשואה: X2+6X-5=0
X1 = 1, X2= 5
ב. דוגמא 2: המשואה: X2+4x-4=0
(Δ= 0 ולמשואה פתרון אחד)
תמונה 018: המשואה השניה (פתרון אחד)
1) נציב שוב את המקדמים (-1, 4, -4) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה
-1X2 + 4X -4 = 0
תמונה 019: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2
2) התוצאה בתא: H2 תהיה: 0
תמונה 020: הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2
Δ= b2 – 4ac = 42 – 4*(-1)*(-4) = 16-16=0
3) בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון
תמונה 021: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"
והתוצאה:
תמונה 022: תוצאת השרש הראשון
4) בתא: C8 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:
תמונה 023: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"
והתוצאה:
תמונה 024: תוצאת השרש השני
מצאנו, אם-כן, שלמשואה X2+4x-4=0
שני פתרונות זהים (כלומר, פתרון אחד): X1= X2= 2.
ג. דוגמא 3: המשואה: X2+3x-5=0
(Δ שלילית ולמשואה אין פתרון)
תמונה 025: המשואה השלישית (ללא פתרונות)
1) נציב שוב את המקדמים (-1, 3, -5) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה
-1X2 + 3X -5 = 0
2) התוצאה בתא: H2 תהיה: -11
Δ = b2– 4ac = 32 – 4*(-1)*(-5) = 9-20=-11
3) בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון
תמונה 028: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"
והתוצאה:
תמונה 029: תוצאת השרש הראשון (אין פתרון)
4) בתא: C8 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:
תמונה 030: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"
והתוצאה:
תמונה 031: תוצאת השרש השני (אין פתרון)
מצאנו, אם-כן, שלמשואה זו: X2+3x-5=0
אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין פתרונות עם מספרים ממשיים)
לסִכּוּם, הצגנו את המשואה הרבועית:
הראינו שמספר הפתרונות האפשריים תלוי בערך הדיסקרימיננטה (Δ) (חיובית, 0 או שלילית), ולשם כך פתרנו שלש משואות שונות:
א. במשואה: -X2+6X-5, Δ חיובית ולכן למשואה 2 פתרונות: X1=1, X2=5
ב. במשואה: -X2+4X-4, Δ = 0 ולכן למשואה פתרון אחד: X1=X2=2
ג. במשואה: -X2+3X-5, Δ שלילית ולכן למשואה זו אין פתרונות
כעת, נלך עוד צעד קדימה ונכתוב נוסחא אשר תאמר לנו (על סמך הערכים בתאים C6 ו- C8 שבהם חִשַּבְנוּ את פתרונות המשואה) - כמה פתרונות יש למשואה
(בעצם,
כבר אמרנו שאפשר לדעת את מספר הפתרונות לפי הדיסקרימיננטה, אבל אנו רוצים לדעת את מספר
הפתרונות לפי הפתרונות עצמם.)
בתא B12 נכתוב את הנוסחא הבאה:
תמונה 032: כיצד נוכל לדעת כמה פתרונות יש לצמד הנוסחאות ב- C6 וב- C8
הסבר:
נפצל את הנוסחא לשני חלקים על מנת להקל על ההסבר:
תמונה 033:שני חלקי הנוסחא- Main Formula & Wrapper
1) החלק העיקרי ("לב הנוסחא") –Main Formula -בודק מול תוצאות הנוסחאות המחשבות את פתרונות המשואה: האם התקבל פתרון אחד (כלומר, 2 פתרונות זהים) או שהתקבלו שני פתרונות.
בחלק זה השתמשנו בשלוש פונקציות:
א. הפונקציה DELTA - פונקציה זו משוה בין שני מספרים ובודקת אם הם זהים. אם כן – מחזירה את הערך: 1 (TRUE), אחרת – מחזירה את הערך: 0 (FALSE).
ב. הפונקציה MOD - פונקציה זו מחזירה את השארית בחלוקת מספר (=תוצאת הפונקציה DELTA) במחלק מסוים (במקרה שלנו, המחלק הוא 2). כאשר מחלקים מספר ב-2, השארית יכולה להיות 1 (המחולק הוא מספר אי-זוגי) או שהשארית היא 0 (המחולק הוא מספר זוגי)
ג. הפונקציה IF "עוטפת" את תוצאת שתי הפונקציות (DELTA ו- MOD). לכן, אם תוצאת ה-MOD היא 1 (התנאי מתקיים) - למשואה יש פתרון אחד בלבד. ואם תוצאת ה- MOD היא 0 (התנאי לא מתקיים) - למשואה יש שני פתרונות.
2) את "לב הנוסחא" "עטפנו" בפונקציה IFERROR (Wrapper) אשר "מטפלת" במקרים שבהם אין פתרונות למשואה (כלומר, הערך בתאים C6 ו-C8 איננו מספר). במקרים כאלה, תוצאת הנוסחא תהיה: No Solution
הערה לסיום:אם במקום C6 ו- C8 נשלב בנוסחא את נוסחאות השרשים המקוריות, כלומר:
אזי, נוכל לדעת כמה שרשים
למשואה גם מבלי לפתור אותה
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה