אקסל לעזרת התלמיד: המִשְוָאָה הרִבּוּעִית

אקסל לעזרת התלמיד: המִשְוָאָה הרִבּוּעִית

אחד היתרונות של תוכנת "אקסל" הוא ביכולתה לבצע חִשוב מהיר של נוסחאות ובקצור זמן הפתרון.

קחו לדוגמא את המשואה הרבועית (הידועה גם בשם: משואה ממעלה שניה).

צורתה הכללית:

                                        תמונה 001: המשואה הרבועית – נוסחא כללית

הנעלם הוא: X  והפרמטרים: a, b, c   הם המקדמים.

כדי לפתור את המשואה, אנו מציבים בנוסחה הבאה שלה שני פתרונות אפשריים (X₁, X₂):

תמונה 002: שני פתרונות המשואה הרבועית

הפתרון הראשון:

תמונה 003: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 1

והפתרון השני:

תמונה 004: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 2

הבִּטוּי מתחת לסימן השרש הרבועי נקרא דיסקרימיננטה (או: דלתא Δ)

                             תמונה 005: דיסקרימיננטה - דלתא (Δ)

ה- Δ קובעת מה מספר הפתרונות שיהיו למשואה (0, 1 או 2):

אם ערכה שלילי - למשואה אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין לה פתרונות שהם מספרים ממשיים)

אם ערכה = 0 - למשואה יש רק פתרון אחד (שֹרש אחד)

אם ערכה  חיובי - למשואה יש שני שֹרשים.

אנו נדגים שלֹש משואות רבועיות, שלהן 3 ערכי Δ שונים: חיובי, 0 ושלילי ונדגים את שיטת הפתרון בכל מקרה בעזרת "אקסל".

א.  דוגמא 1: המשואה: X²+6X-5=0 

               (Δ חיובית ולמשואה שני פתרונות)

                                                תמונה 006: המשואה הראשונה (2 פתרונות)

כדי לפשט את הפתרון ב"אקסל", נגדיר את ה- Δ כשם (Defined Name)

1)     נכתוב את ערכי המקדמים (-1, 6, -5) בתאים: , F2, G2E2 -בהתאמה

                        -1X² + 6 X -5 = 0

תמונה 007: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2)    נכתוב  את הנוסחא לחשוב Δ בתא: H2

            Δ = b² – 4ac = 6² – 4*(-1)*(-5) = 36-20=16

                             תמונה 008: הנוסחא לחִשוּבΔ בתא: H2

הבטוי בתא: H2 ערכו = 16

F2^2-(4*E2*G2) = 6^2- (4*-5*-1) =36-20=16

3)    את הנוסחא בתאH2   נגדיר ב"מנהל השמות" (Name Manager) כ- Discr

                   תמונה 009: הגדרת Discr ב"מנהל השמות" (Name Manager)

הנוסחא הכללית למציאת השֹרש הראשון: X₁

                             תמונה 010: הנוסחא הכללית למציאת השרש הראשון

והיא תתורגם ב"אקסל" כך:

                   תמונה 011: הנוסחא למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

נוסחא זו טובה למציאת השֹרש הרבועי כאשר Δ איננה שלילית. אבל ב"אקסל" אי-אפשר להוציא שֹרש ממספר שלילי. לכן, "נעטוף" הנוסחא ב- IF   אשר יבדוק אם ה- Δ  היא שלילית. אם היא שלילית, תוצג התוצאה: “No Solution”. אחרת - יוצג השֹרש שחושב.

4)     בתא: C6  נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

תמונה 012: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

                                        תמונה 013: תוצאת השרש הראשון

באופן דומה, בנוסחא הכללית למציאת השֹרש השני: X₂

                             תמונה 014: הנוסחא הכללית למציאת השרש השני

                            

נציב את הנוסחא ב"אקסל":

תמונה 015: הנוסחא למציאת השרש השני - ב"אקסל"

5)     ובצורתה הסופית, בתא C8:

            תמונה 016: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:

                                      תמונה 017: תוצאת השרש השני

מצאנו, אם-כן, שני פתרונות למשואה: X²+6X-5=0  

X₁ = 1, X₂= 5

ב.   דוגמא 2: המשואה: X²+4x-4=0 

                    (Δ= 0 ולמשואה פתרון אחד)

תמונה 018: המשואה השניה (פתרון אחד)

1)     נציב שוב את המקדמים (-1, 4, -4) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה

 -1X² + 4X -4 = 0                              

תמונה 019: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2)     התוצאה בתא:  H2  תהיה: 0

       תמונה 020: הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2

 Δ= b² – 4ac = 4² – 4*(-1)*(-4) = 16-16=0

3)     בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

תמונה 021: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

            תמונה 022: תוצאת השרש הראשון

4)     בתא: C8 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:

תמונה 023: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:

          תמונה 024: תוצאת השרש השני

מצאנו, אם-כן, שלמשואה  X²+4x-4=0

שני פתרונות זהים (כלומר, פתרון אחד): X₁= X₂= 2.

ג.    דוגמא 3: המשואה: X²+3x-5=0 

                    (Δ שלילית ולמשואה אין פתרון)

תמונה 025: המשואה השלישית (ללא פתרונות)

1)     נציב שוב את המקדמים (-1, 3, -5) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה

                   -1X² + 3X -5 = 0

 תמונה 026: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2)     התוצאה בתא:  H2  תהיה: -11

                                     תמונה 027: תוצאה שלילית של הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2

Δ = b²– 4ac = 3² – 4*(-1)*(-5) = 9-20=-11

3)     בתא: C6  נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

                        תמונה 028: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

 תמונה 029: תוצאת השרש הראשון (אין פתרון)

4)     בתא: C8  נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:

תמונה 030: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:

תמונה 031: תוצאת השרש השני (אין פתרון)

מצאנו, אם-כן, שלמשואה זו:  X²+3x-5=0

אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין פתרונות עם מספרים ממשיים)

                                    

לסִכּוּם, הצגנו את המשואה הרבועית:

הראינו שמספר הפתרונות האפשריים תלוי בערך הדיסקרימיננטה (Δ) (חיובית, 0 או שלילית), ולשם כך פתרנו שלש משואות שונות:

א.    במשואה: -X²+6X-5,   Δ חיובית ולכן למשואה 2 פתרונות: X1=1, X2=5

ב.     במשואה: -X²+4X-4,  Δ = 0 ולכן למשואה פתרון אחד: X1=X2=2

ג.      במשואה: -X²+3X-5,  Δ שלילית ולכן למשואה זו אין פתרונות

כעת, נלך עוד צעד קדימה ונכתוב נוסחא אשר תאמר לנו (על סמך הערכים בתאים C6 ו- C8  שבהם חִשַּבְנוּ את פתרונות המשואה) - כמה פתרונות יש למשואה

(בעצם, כבר אמרנו שאפשר לדעת את מספר הפתרונות לפי הדיסקרימיננטה, אבל אנו רוצים לדעת את מספר הפתרונות לפי הפתרונות עצמם.)

בתא B12 נכתוב את הנוסחא הבאה:

               תמונה 032: כיצד נוכל לדעת כמה פתרונות יש לצמד הנוסחאות ב- C6 וב- C8

הסבר:

נפצל את הנוסחא לשני חלקים על מנת להקל על ההסבר:

                תמונה 033:שני חלקי הנוסחא-  Main Formula & Wrapper

1)     החלק העיקרי ("לב הנוסחא") –Main Formula -בודק מול תוצאות הנוסחאות המחשבות את פתרונות המשואה: האם התקבל פתרון אחד (כלומר, 2 פתרונות זהים) או שהתקבלו שני פתרונות.

בחלק זה השתמשנו בשלוש פונקציות:

א.    הפונקציה DELTA - פונקציה זו משוה בין שני מספרים ובודקת אם הם זהים. אם כן – מחזירה את הערך: 1 (TRUE), אחרת – מחזירה את הערך: 0 (FALSE).

ב.     הפונקציה MOD - פונקציה זו מחזירה את השארית בחלוקת מספר (=תוצאת הפונקציה DELTA)  במחלק מסוים (במקרה שלנו, המחלק הוא 2). כאשר מחלקים מספר ב-2, השארית יכולה להיות 1 (המחולק הוא מספר אי-זוגי) או שהשארית היא 0 (המחולק הוא מספר זוגי)

ג.      הפונקציה IF "עוטפת" את תוצאת שתי הפונקציות (DELTA ו- MOD). לכן, אם תוצאת ה-MOD  היא 1 (התנאי מתקיים) - למשואה יש פתרון אחד בלבד. ואם תוצאת ה- MOD היא 0 (התנאי לא מתקיים) - למשואה יש שני פתרונות.

2)   את "לב הנוסחא" "עטפנו" בפונקציה IFERROR (Wrapper) אשר "מטפלת" במקרים שבהם אין פתרונות למשואה (כלומר, הערך בתאים C6 ו-C8  איננו מספר). במקרים כאלה, תוצאת הנוסחא תהיה: No Solution

      הערה לסיום:אם במקום C6 ו- C8 נשלב בנוסחא את נוסחאות השרשים המקוריות, כלומר:

                     

 אזי, נוכל לדעת כמה שרשים למשואה גם מבלי לפתור אותה