פתרון חידת תשעת המטבעות

                        פתרון חידת תשעת המטבעות

נמספר את כל המטבעות מ-1 ועד 9.

שקילה ראשונה

נשקול בכף שמאל של המאזנַיִם את המטבעות: 1,2,3 ובכף ימין את המטבעות: 4,5,6.

לשקילה זו יכולה להיות אחת משלוש התוצאות הבאות (קראנו לכך שלשה "מסלולים" - כל ההסברים מתבססים על שלשת המסלולים האפשריים):

מסלול 0. הכפות מאוזנות

מסלול 1. כף ימין כבדה מכף שמאל

מסלול 2. כף שמאל כבדה מכף ימין

ההסברים להלן מפרטים את כל האפשרויות לפי שלוש התוצאות.

מסלול 0 - בשקילה הראשונה: הכפות מאוזנות

0. לאחר שקילה I - תוצאה אפשרית א': כפות מאוזנות

הכפות בשקילה הראשונה - מאוזנות. אם כך, המטבע יוצא-הדֹפֶן הוא אחד מהמטבעות: 7, 8 או 9.

שקילה שניה

נשקול כעת את המטבעות 1,2,7 (בכף שמאל) מול המטבעות 3,8,9 (בכף ימין). מכיון שכל המטבעות שעלולים להיות שונים (7,8,9) משתתפים בשקילה זו - לתוצאת השקילה יש רק שתי אפשרויות:

א. כף ימין כבדה יותר (מסלול 0.1)

ב. כף שמאל כבדה יותר (מסלול 0.2)

0.1 לאחר שקילה II - אפשרות א': כף ימין כבדה יותר

אם כף ימין (מטבעות 3,8,9) כבדה מכף שמאל (מטבעות 1,2,7) - אזי או שהמטבע יוצא-הדֹפֶן הוא 7 (והוא קל יותר) או שיוצא-הדֹפֶן הוא אחד מהמטבעות ( 8 או 9) (והוא כבד יותר).

שקילה שלישית

נשקול בכף ימין את מטבע 8 ובכף שמאל את מטבע 9.

0.1.0 תוצאת שקילה III - אפשרות א': הכפות מאוזנות

אם הכפות מאוזנות אזי ברור שהמטבע שלא השתתף בשקילה זו (מטבע 7) הוא הקל משאר המטבעות.

0.1.1 תוצאת שקילה III - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל.

כף ימין (מטבע 8) מכילה את המטבע הכבד יותר, יוצא-הדֹפֶן.

0.1.2 תוצאת שקילה III - אפשרות ג': כף שמאל כבדה מכף ימין

כף שמאל (מטבע 9) מכילה את המטבע הכבד יותר, יוצא-הדֹפֶן.

0.2 לאחר שקילה II - אפשרות ב': כף שמאל כבדה יותר

אם כף שמאל (מטבעות 1,2,7) כבדה מכף ימין (מטבעות 3,8,9) - אזי או שהמטבע יוצא-הדֹפֶן הוא 7 (והוא כבד יותר) או שיוצא-הדֹפֶן הוא אחד מהמטבעות (8 או 9) (והוא קל יותר).

שקילה שלישית

נשקול בכף ימין את מטבע 8 ובכף שמאל את מטבע 9.

0.2.0 תוצאת שקילה III - אפשרות א': הכפות מאוזנות

אם הכפות מאוזנות אזי ברור שהמטבע שלא השתתף בשקילה זו (מטבע 7) הוא הכבד משאר המטבעות.

0.2.1 תוצאת שקילה III - אפשרות ב': כף ימין כבדה יותר

אם כף ימין (מטבע 8) כבדה יותר, אזי מטבע 9 הוא הקל משאר המטבעות.

0.2.2 תוצאת שקילה III - אפשרות ג': כף שמאל כבדה יותר

אם כף שמאל (מטבע 9) כבדה יותר, אזי מטבע 8 הוא הקל משאר המטבעות.

מסלול 1 - בשקילה הראשונה:כף ימין כבדה מכף שמאל

1. לאחר שקילה I - תוצאה אפשרית ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

הכפות בשקילה הראשונה - אינן מאוזנות. כף ימין (4,5,6) כבדה יותר מכף שמאל (1,2,3)

אם כך, או שאחד המטבעות בכף ימין (4,5,6) כבד יותר - או שאחד המטבעות בכף שמאל (1,2,3) קל יותר.

שקילה שניה

כעת נשקול בכף ימין את המטבעות: 3,5,8,9 ובכף שמאל את המטבעות: 1,2,4,7

1.0 שקילה II - אפשרות א': הכפות מאוזנות

כף ימין (3,5,8,9) וכף שמאל (1,2,4,7) - מאוזנות.

לכן, מטבע 6 הוא היוצא-דֹפֶן, והוא גם כבד משאר המטבעות.

אין גם צורך בשקילה נוספת.

1.1 שקילה II  - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

כף ימין (3,5,8,9) כבדה מכף שמאל (1,2,4,7).

אם כף ימין כבדה גם בשקילה השניה, זה לא בגלל מטבע 3 (שעבר מכף שמאל) וגם לא בגלל מטבעות 7,8,9 (שלא השתתפו בשקילה הראשונה) וגם לא בגלל מטבע 4 (שעבר לכף שמאל) וגם לא בגלל מטבע 6 (שלא השתתף בשקילה השניה)

לפיכך, או שאחד המטבעות (1,2) קל מהשאר או שמטבע מס. 5 - כבד מהשאר.

שקילה שלישית

בכף ימין נשים את מטבע 1 ובכף שמאל - את מטבע 2.

1.1.0 תוצאת שקילה III - אפשרות א': הכפות מאוזנות

אם הכפות מאוזנות- אזי מטבע 5 הוא המטבע יוצא-הדֹפֶן והוא גם כבד מהשאר.

1.1.1 תוצאת שקילה III - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

כף שמאל (מטבע 2) מכילה את המטבע הקל יותר, יוצא-הדֹפֶן.

1.1.2 תוצאת שקילה III - אפשרות ג': כף שמאל כבדה מכף ימין

כף ימין (מטבע 1) מכילה את המטבע הקל יותר, יוצא-הדֹפֶן.

1.2 שקילהII  - אפשרות ג':  כף שמאל כבדה מכף ימין

כף שמאל (1,2,4,7) כבדה מכף ימין (3,5,8,9).

לפיכך, או שמטבע 3 - קל יותר משאר המטבעות או שמטבע 4 - כבד יותר משאר המטבעות.

שקילה שלישית

בכף ימין נשים את מטבע 4 ובכף שמאל - את מטבע 7.

1.2.0 תוצאת שקילה III - אפשרות א': הכפות מאוזנות

אם הכפות מאוזנות - אזי המטבע שלא שקלנו (מטבע 3)  הוא יוצא-הדֹפֶן והוא גם קל משאר המטבעות.

1.2.1 תוצאת שקילה III - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

אם כף ימין כבדה יותר - אזי מטבע 4 הוא יוצא-הדֹפֶן והוא גם כבד מהשאר.

מסלול 2 - בשקילה הראשונה: כף שמאל כבדה מכף ימין

2. שקילה I - תוצאה אפשרית ג': כף שמאל כבדה מכף ימין

הכפות בשקילה הראשונה - אינן מאוזנות. כף שמאל (1,2,3) כבדה יותר מכף ימין (4,5,6).

אם כך, או שאחד המטבעות בכף שמאל (1,2,3) כבד יותר - או שאחד המטבעות בכף ימין (4,5,6) קל יותר.

שקילה שניה

כעת נשקול בכף שמאל את המטבעות: 1,2,4,7 ובכף ימין את המטבעות: 3,5,8,9

2.0 שקילה II - אפשרות א': הכפות מאוזנות

כף שמאל (1,2,4,7) וכף ימין (3,5,8,9) - מאוזנות.

לכן, מטבע 6 הוא היוצא דֹפֶן, והוא גם קל משאר המטבעות. אין גם צורך בשקילה נוספת.

2.1 שקילה II  - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

כף ימין (3,5,8,9) כבדה מכף שמאל (1,2,4,7).

לפיכך, או שמטבע 3 - כבד יותר משאר המטבעות או שמטבע 4 - קל יותר משאר המטבעות.

שקילה שלישית

בכף ימין נשים את מטבע 7 ובכף שמאל - את מטבע 4.

2.1.0 תוצאת שקילה III - אפשרות א': הכפות מאוזנות

אם הכפות מאוזנות - אזי המטבע שלא שקלנו הוא יוצא-הדֹפֶן. לכן, מטבע 3 הוא הכבד מכל השאר.

2.1.1 תוצאת שקילה III - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

אם כף ימין כבדה יותר - אזי מטבע 4 הוא יוצא-הדֹפֶן והוא גם קל מהשאר.

2.2 שקילה II  - אפשרות ג': כף שמאל כבדה מכף ימין

כף שמאל (1,2,4,7) כבדה מכף ימין (3,5,8,9).

לפיכך, או שאחד המטבעות (1,2) כבד מהשאר או שמטבע מס. 5 - קל מהשאר.

שקילה שלישית

בכף ימין נשים את מטבע 1 ובכף שמאל - את מטבע 2.

2.2.0 תוצאת שקילה III - אפשרות א': הכפות מאוזנות

אם הכפות מאוזנות- אזי מטבע 5 הוא המטבע יוצא-הדֹפֶן והוא גם קל מהשאר.

2.2.1 תוצאת שקילה III - אפשרות ב': כף ימין כבדה מכף שמאל

כף ימין (מטבע 1) מכילה את המטבע הכבד יותר, יוצא-הדֹפֶן.

2.2.2 תוצאת שקילה III - אפשרות ג': כף שמאל כבדה מכף ימין

כף שמאל (מטבע 2) מכילה את המטבע הכבד יותר, יוצא-הדֹפֶן.

♣♣♣

עד כאן פתרון החידה. מקווה שנהניתם.

נתראה בקרוב.

♣♣♣