יום חמישי, 16 באוקטובר 2014

פתרון מערכת בת N משואות בעלות N נעלמים בעזרת "אקסל"

פתרון מערכת בת N משואות בעלות N נעלמים בעזרת "אקסל"

בבית-הספר (היסודי והתיכון...) למדנו שלוש שיטות לפתרון מערכת של שתי משואות בעלות שני נעלמים:

א.    שיטת השוואת המקדמים
ב.     שיטת ההצבה
ג.      השיטה הגרפית




אני רוצה להציג שיטה חדשה, לפתרון מערכת בת  n משוואות בנות n נעלמים.

אנו נדגים את השיטה לפתרון מערכת בת 2 משוואות בנות שני נעלמים, אבל אפשר כמובן ליישם אותה גם לפתרון מערכת בת 3 משוואות בנות 3 נעלמים, מערכת בת 4 משוואות בנות 4 נעלמים וכו'.

השיטה נעזרת בתוכנת "אקסל".


נתונה מערכת המשואות:

תמונה 01: מערכת משואות – שתי משואות בנות שני נעלמים

ראשית, נדגים כיצד נפתור אותה באמצעות שלוש השיטות המוכרות ואז אסביר כיצד ליישם את השיטה החדשה.

שיטה א: פתרון בשיטת השואת המקדמים



תמונה 02: שיטת השואת המקדמים - מציאת ערך X

נציב במשואה הראשונה את ערך X שמצאנו (4) כדי למצוא את ערך Y:
    

תמונה 03: שיטת השואת המקדמים - מציאת ערך Y



תמונה 04: פתרונות המשואה
                       


שיטה ב: פתרון בשיטת ההצבה



תמונה 05: מערכת משואות – שתי משואות בנות שני נעלמים

נבטא את X בעזרת Y ("נחלץ" את X מהמשואה השניה)



                                                תמונה 06: "חִלוּּץ" X מהמשוואה השניה


ואז נציב במשואה הראשונה


תמונה 07: המשוואה הראשונה

את ערך X (3-Y) שחילצנו מהמשואה השניה:


תמונה 08: נציב במשואה הראשונה את X שחילצנו מהמשוואה השניה

ונקבל:



תמונה 09: מציאת Y

לאחר שמצאנו את Y (=-1), נציב במשואה הראשונה כדי למצוא את ערך X:

תמונה 10: כעת נציב במשואה הראשונה את Y שמצאנו

והתוצאה:



תמונה 11: פתרונות המשואה


שיטה ג: פתרון בשיטה הגרפית

בשיטה זו משרטטים את הגרפים של שתי הפונקציות.
קואורדינטות נקודת החתוך (,-14)A של שני הגרפים הן ערכי הפתרון (X, Y)



                      תמונה 12: שיעורי נקודת החתוך בין שני הגרפים הם הפתרונות

בגרף אפשר לראות שנקודת החתוך היא A(4, -1)


שיטה ד: השיטה החדשה – שמוש ב"אקסל"

היום נלמד שיטה חדשה, פתרון מערכת של שתי משואות בעלות שני נעלמים בעזרת "אקסל".
אנו מסתמכים על העובדה שבעצם שתי המשואות הן מטריצות



תמונה 13: נבטא את מערכת המשוואות כמכפלה של מטריצות




המטריצה הראשונה היא מטריצת המקדמים (Coefficients):


תמונה 14: המטריצה של מקדמי הנעלמים

המטריצה השניה היא וקטור (=מטריצה בת עמודה אחת) של הנעלמים (unknowns):


תמונה 15: המטריצה של הנעלמים


המטריצה השלישית היא וקטור הערכים (Values):



תמונה 16: המטריצה של הערכים

כדי למצוא את פתרונות מערכת המשואות, עלינו למצוא את וקטור הנעלמים:

וקטור הנעלמים = וקטור הערכים * המטריצה ההפוכה של מטריצת המקדמים

 תמונה 17: וקטור הנעלמים כמכפלת שתי המטריצות: מקדמים וערכים



שלבי הפתרון:


א.   נרשום את ערכי מטריצת המקדמים בתאים: A7:B8

                       המקדמים במשואה הראשונה:                    -1        1
                        המקדמים במשואה השניה:                        1          1




              תמונה 18: המטריצה של מקדמי הנעלמים [A7:B8]


ב.    נרשום את ערכי וקטור הערכים בתאים:  G7:G8



תמונה 19: וקטור הערכים [G7:G8]
                  


ג.     כדי לחשב את המטריצה ההפוכה, נשתמש בפונקציה: MINVERSE.
נסמן את התאים: D7:E8ובתא D7 נכתוב את הנוסחא:
MINVERSE(A7:B8)

שימו לב, מכיון שמדובר בנוסחת מערך, לא נסיים בהקשת Enter אלא בהקשת: Ctrl+Shift+Enter. "אקסל" יקיף בסוגריים מסולסלים את הנוסחא.

 תמונה 20: חישוב המטריצה ההפוכה בתאים: D7:E8


ד.    כעת, נסמן את תאים: E13:E14 ונכתוב את הנוסחא:
MMULT(D7:E8,G7:G8)
          גם כאן נסיים בהקשת: Ctrl+Shift+Enter, כי גם כאן מדובר בנוסחת מערך.


          הסבר:
      הפונקציה  MMULT היא פונקציה המחזירה את מכפלת שני המערכים
D7:E8 ו- G7:G8.
המערך: D7:E8 מכיל את המטריצה ההפוכה שמצאנו בשלב ג.
המערך: G7:G8 מכיל את וקטור הערכים שבנינו בשלב ב.

תוצאת הפונקציה: בתאים E13:E14
תא: E13 מכיל את הפתרון עבור X
תא: E14 מכיל את הפתרון עבור Y




תמונה 21: בתא E13 קבלנו את תוצאת X (4) ובתא E14 קבלנו את תוצאת Y (-1).


ואכן, תשובות אלו תואמות את התשובות שקבלנו ב-3 השיטות המסורתיות. 








 לסיום, נדגים את השמוש בשיטה החדשה לפתרון מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים כל אחת:

תמונה 22: מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים


והפתרון:
תמונה 23: פתרון מערכת של 3 משוואות בנות 3 נעלמים








אין תגובות:

פרסום תגובה