יום שבת, 19 באוקטובר 2013

יוהן סבסטיאן בך - מגניפיקט, BWV243a



יוהן סבסטיאן בך - מגניפיקט, BWV243a

בבצוע: תזמורת ומקהלת הברוק של אמסטרדם (The Amsterdam Baroque Orchestra and Choir)
המנצח: טון קוּפּמַן (Conductor: Ton Koopman)
סולנים:        
סופרן I - דֶבּרָה יורְק (Soprano: Deborah York)
סופרן II ואלט - בּוגְנָה בַּרטוֹש (Soprano II & Alto: Bogna Bartosz)
טנור - יוֹרג דימילר (Tenor: Jörg Dümüller)
בס - קלאוס מרטנס (Bass: Klaus Mertens)
אורך היצירה - 33:44


אקסל לעזרת המורה - הסתברות: נוסחת ברנולי

אקסל לעזרת המורה - הסתברות: נוסחת ברנולי

נוסחת ברנולי משמשת אותנו בחִשובי הסתברות, כאשר מדובר בהסתברות בלתי-מותנית, כלומר בסדרת מאורעות בלתי-תלויים זה בזה.
כדי להשתמש בנוסחא  זו חייבים להתקיים שלשה תנאים:
1.      סדרת נסיונות חוזרים ובלתי-תלויים
2.      אפשרות בינומית (בוליאנית) לתוצאה: כן/לא, הצלחה/כשלון
3.      ההסתברות  קבועה ואיננה משתנה בכל הנסיונות




הסבר:

הנוסחא:



מורכבת מ-3 חלקים:

א.    חלקה הראשון של הנוסחא ("n מעל k")



ידוע גם כ"מקדם הבינום של ניוטון"  וגם לבטוי זה יש פונקציה ב"אקסל" (COMBIN) - אך על כך נסביר בפוסט אחר....

ב.     חלקה השני של הנוסחא הוא ההסתברות בחזקת מספר ההצלחות:





ג.      חלקה השלישי של הנוסחא הוא המאורע המשלים (1 - P) בחזקת: (מספר הנסיונות - מספר ההצלחות):

                                         
                                                                  
                                                                       

דוגמא א – הסתברות לא מצטברת (מספר הצלחות מדויק):

נסביר את השמוש בנוסחת ברנולי בעזרת השאלה הבאה:

ההסתברות לפגיעה במטרה היא: 0.33
אם חייל יורה למטרה 5 פעמים, מה ההסתברות שיפגע בה 3 פעמים בדיוק?

השאלה עומדת בקריטריונים הנדרשים כדי להשתמש בנוסחא:
1.      כל נסיון (יריה) אינו תלוי בקודמו
2.      לכל יריה יש רק שתי אפשרוית: קליעה או החטאה ("פספוס")
3.      ההסתברות איננה משתנה מנסיון לנסיון

והפתרון:
נציב בנוסחת ברנולי כאשר:

n  = 5, k = 3, p = 0.33    





אבל, תשאלו, מה הקשר ל"אקסל"?

ב"אקסל" קיימת פונקציה מיוחדת, בשם: BINOMDIST שהיא למעשה ישום נוסחת ברנולי.



=BINOMDIST(3,5,0.33,0)
כפי שאפשר לראות, הפונקציה מקבלת 4 ארגומנטים:
1.      (Number_s) - מספר ההצלחות המבוקש (=3)
2.     (Trials) - מספר הנסיונות (=5)
3.     (Probability_s) - הסתברות (=0.33)
4.      (Cumulative) - מצטבר (=0, כלומר=False)

שלשת הארגומנטים הראשונים הם (בהתאמה): k, n ו- p של הנוסחא המקורית.
הארגומנט הרביעי (Cumulative) אומר ל"אקסל" - האם מדובר בהסתברות מצטברת (עליה נסביר בהמשך) או בהסתברות בלתי-מצטברת (כמו בדוגמא שלנו): אנו רוצים לדעת את ההסתברות למספר מדויק של הצלחות (3).

דוגמא ב – הסתברות לא מצטברת ("לפחות מספר הצלחות.."):

כעת, נשנה מעט את נוסח השאלה המקורית כדי להסביר מקרה אחר של הסתברות לא-מצטברת:
ההסתברות לפגיעה במטרה היא: 0.33
            אם חייל יורה למטרה 5 פעמים, מה ההסתברות שיפגע בה לפחות 3 פעמים?


ההסתברות לפגיעה במטרה 3 פעמים לפחות, פירושה: פגיעה במטרה 3 פעמיםאו פגיעה במטרה 4 פעמים או פגיעה במטרה 5 פעמים


ב"אקסל" נקיש כאן 3 פעמים את הפונקציה: BINOMDIST ונסכם את שלוש התוצאות:

=BINOMDIST(3,5,0.33,0) + BINOMDIST(4,5,0.33,0) + BINOMDIST(5,5,0.33,0)




וזה, כמובן, הרבה יותר קל ומהיר מאשר להשתמש במחשבון לחישוב נוסחת  ברנולי.

אם אתם בכל זאת מתעקשים על שמוש במחשבון, ראו הסבר בסרטון הבא (החל מדקה 7:05):



דוגמא ג - הסתברות מצטברת (מספר הצלחות "לא יותר מ..") :
כעת, שוב נשנה מעט את נוסח השאלה המקורית על-מנת להסביר מהי הסתברות מצטברת:

ההסתברות לפגיעה במטרה היא: 0.33
            אם חייל יורה למטרה 5 פעמים, מה ההסתברות שיפגע בה לא יותר מ-3 פעמים?

ההסתברות המצטברת היא סכום ההסתברויות שבהן החייל פגע במטרה לא יותר מ-3 פעמים מתוך חמשת הנסיונות, כלומר: לא פגע בכלל (0) או פגע פעם אחת בלבד (1) אופגע פעמיים בלבד (2) או פגע 3 פעמים בלבד (3).

לפי נוסחת ברנולי נקבל כאן נוסחא ארוכה, המורכבת מסכום ארבע  הנוסחאות (אִחוד) של כל אחת מארבע האפשרויות שציינתי לעיל:




אם נשתמש במחשבון כדי לחשב את ההסתברות המצטברת, נצטרך לחשב ארבע נוסחאות שונות ואז לסכם את תוצאותיהן.
אבל במקום תהליך ארוך (הדורש עשרות פעולת הקלדה והקשה!), נגיע מיד לאותה תוצאה ב"אקסל" בפונקציה אחת בלבד -  BINOMDIST - כאשר הארגומנט הרביעי בפונקציה (Cumulative) ערכו יהיה: 1 (כלומר=True)


=BINOMDIST(3,5,0.33,1)








שאלה:
אם כך, מתי נשתמש ב"אקסל" בהסתברות מצטברת (פרמטר מס. 4 = 1) ומתי נשתמש בהסתברות לא מצטברת (פרמטר מס. 4 = 0)?
תשובה:
·        אם בנוסח השאלה מופיעות המילים: "לא יותר מ-x" או "לכל היותר x" - אזי נשתמש בהסתברות מצטברת, כי אנו מחפשים את התוצאה המצטברת של הסתברויות מ-0 ועד x: 0,1,2,3….x
·        אם בנוסח השאלה מופיעות המילים: "לפחות..." או "בדיוק"  או "לפחות ... אך לא יותר מ...." - אזי נשתמש בהסתברות לא-מצטברת.

במילים אחרות,
ההסתברות המצטברת ניתנת לישום ב"אקסל" אם מחפשים את סכום ההסתברויות החל מההסתברות שארוע מסוים לא יתקיים כלל ועד הסתברות למספר כלשהו של הצלחות 


ההסתברות הלא-מצטברת ניתנת לישום בשאר המקרים, גם כשמבקשים מספר מדויק של הצלחות וגם כשמבקשים סכום הסתברויות :



אם מבקשים הסתברות מספר מדויק של הצלחות, אז משתמשים בפונקציה הלא-מצטברת פעם אחת בלבד (כמו בדוגמא א)
אם מבקשים הסתברות של "לפחות.."  , אז משתמשים בפונקציה הלא-מצטברת מספר פעמים, כמספר הפעמים מ- kועד n. (=n-k+1(כמו בדוגמא ב)
לדוגמא: אם ביקשו את ההסתברות של "לפחות שלוש הצלחות מתוך חמישה נסיונות"
אז נפעיל את הפונקציה 3 פעמים (=5-3+1):
1)     עבור 3 הצלחות
2)     עבור 4 הצלחות
3)     עבור 5 הצלחות


            ברור שכאשר   k=n, (כלומר כשמבקשים את ההסתברות כשמספר ההצלחות זהה    למספר הנסיונות)  אין צורך בנוסחת ברנולי, כי אז ההסתברות = 1.







לסִכּום, הסברנו את השמוש בנוסחת ברנולי: מתי משתמשים וכיצד משתמשים.
כמו-כן הראינו כיצד הפונקציה BINOMDIST ב"אקסל" מקצרת לנו מאֹד את תהליך החִשוב בנוסחא, ביחוד כאשר מדובר בהסתברות מצטברת.