יום שני, 14 באפריל 2014

אקסל לעזרת התלמיד: המִשְוָאָה הרִבּוּעִית

אקסל לעזרת התלמיד: המִשְוָאָה הרִבּוּעִית

אחד היתרונות של תוכנת "אקסל" הוא ביכולתה לבצע חִשוב מהיר של נוסחאות ובקצור זמן הפתרון.
קחו לדוגמא את המשואה הרבועית (הידועה גם בשם: משואה ממעלה שניה).
צורתה הכללית:

תמונה 001: המשואה הרבועית – נוסחא כללית

הנעלם הוא:  והפרמטרים: a, b, c   הם המקדמים.
כדי לפתור את המשואה, אנו מציבים בנוסחה הבאה שלה שני פתרונות אפשריים (X1, X2):

תמונה 002: שני פתרונות המשואה הרבועית

הפתרון הראשון:

תמונה 003: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 1

והפתרון השני:

תמונה 004: המשואה הרבועית – שֹרֶש מס. 2



הבִּטוּי מתחת לסימן השרש הרבועי נקרא דיסקרימיננטה (או: דלתא Δ)

                             תמונה 005: דיסקרימיננטה - דלתא (Δ)


ה- Δ קובעת מה מספר הפתרונות שיהיו למשואה (0, 1 או 2):
אם ערכה שלילי - למשואה אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין לה פתרונות שהם מספרים ממשיים)
אם ערכה = 0 - למשואה יש רק פתרון אחד (שֹרש אחד)
אם ערכה  חיובי - למשואה יש שני שֹרשים.



אנו נדגים שלֹש משואות רבועיות, שלהן 3 ערכי Δ שונים: חיובי, 0 ושלילי ונדגים את שיטת הפתרון בכל מקרה בעזרת "אקסל".

א.  דוגמא 1: המשואה: X2+6X-5=0 
               (Δ חיובית ולמשואה שני פתרונות)

                                                תמונה 006: המשואה הראשונה (2 פתרונות)

כדי לפשט את הפתרון ב"אקסל", נגדיר את ה- Δ כשם (Defined Name)

1)     נכתוב את ערכי המקדמים (-1, 6, -5) בתאים: , F2, G2E2 -בהתאמה

                        -1X2 + 6 X -5 = 0

תמונה 007: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2

2)    נכתוב  את הנוסחא לחשוב Δ בתא: H2

            Δ = b2 – 4ac = 62 – 4*(-1)*(-5) = 36-20=16

                             תמונה 008: הנוסחא לחִשוּבΔ בתא: H2

הבטוי בתא: H2 ערכו = 16

F2^2-(4*E2*G2) = 6^2- (4*-5*-1) =36-20=16


3)    את הנוסחא בתאH2   נגדיר ב"מנהל השמות" (Name Manager) כ- Discr

                   תמונה 009: הגדרת Discr ב"מנהל השמות" (Name Manager)


הנוסחא הכללית למציאת השֹרש הראשון: X1

                             תמונה 010: הנוסחא הכללית למציאת השרש הראשון

והיא תתורגם ב"אקסל" כך:

                   תמונה 011: הנוסחא למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

נוסחא זו טובה למציאת השֹרש הרבועי כאשר Δ איננה שלילית. אבל ב"אקסל" אי-אפשר להוציא שֹרש ממספר שלילי. לכן, "נעטוף" הנוסחא ב- IF   אשר יבדוק אם ה- Δ  היא שלילית. אם היא שלילית, תוצג התוצאה: No Solution. אחרת - יוצג השֹרש שחושב.

4)     בתא: C6  נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון
תמונה 012: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

                                        תמונה 013: תוצאת השרש הראשון

באופן דומה, בנוסחא הכללית למציאת השֹרש השני: X2

                             תמונה 014: הנוסחא הכללית למציאת השרש השני
                            
נציב את הנוסחא ב"אקסל":

תמונה 015: הנוסחא למציאת השרש השני - ב"אקסל"

5)     ובצורתה הסופית, בתא C8:

            תמונה 016: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:
                                      תמונה 017: תוצאת השרש השני

מצאנו, אם-כן, שני פתרונות למשואה: X2+6X-5=0  
X1 = 1, X2= 5





ב.   דוגמא 2: המשואה: X2+4x-4=0 
                    (Δ= ולמשואה פתרון אחד)

תמונה 018: המשואה השניה (פתרון אחד)

1)     נציב שוב את המקדמים (-1, 4, -4) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה

 -1X2 + 4X -4 = 0                              

תמונה 019: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2


2)     התוצאה בתא:  H2  תהיה: 0

       תמונה 020: הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2


 Δ= b2 – 4ac = 42 – 4*(-1)*(-4) = 16-16=0

3)     בתא: C6 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

תמונה 021: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"


והתוצאה:
            תמונה 022: תוצאת השרש הראשון


4)     בתא: C8 נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:

תמונה 023: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:
          תמונה 024: תוצאת השרש השני

מצאנו, אם-כן, שלמשואה  X2+4x-4=0
שני פתרונות זהים (כלומר, פתרון אחד): X1= X2= 2.






ג.    דוגמא 3: המשואה: X2+3x-5=0 
                    (Δ שלילית ולמשואה אין פתרון)


תמונה 025: המשואה השלישית (ללא פתרונות)

1)     נציב שוב את המקדמים (-1, 3, -5) בתאים: , F2, G2 E2– בהתאמה

                   -1X2 + 3X -5 = 0
 תמונה 026: הצבת מקדמי המשואה בתאים: E2, F2, G2


2)     התוצאה בתא:  H2  תהיה: -11
                                     תמונה 027: תוצאה שלילית של הנוסחא לחִשוּב Δ בתא: H2


Δ = b2– 4ac = 32 – 4*(-1)*(-5) = 9-20=-11

3)     בתא: C6  נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש הראשון

                        תמונה 028: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש הראשון - ב"אקסל"

והתוצאה:

 תמונה 029: תוצאת השרש הראשון (אין פתרון)

4)     בתא: C8  נכתוב את הנוסחא המעודכנת למציאת השרש השני:

תמונה 030: הנוסחא המתוקנת למציאת השרש השני - ב"אקסל"

והתוצאה:
תמונה 031: תוצאת השרש השני (אין פתרון)

מצאנו, אם-כן, שלמשואה זו:  X2+3x-5=0
אין פתרונות (או ליתר דיוק, אין פתרונות עם מספרים ממשיים)



                                    


לסִכּוּם, הצגנו את המשואה הרבועית:
הראינו שמספר הפתרונות האפשריים תלוי בערך הדיסקרימיננטה (Δ) (חיובית, 0 או שלילית), ולשם כך פתרנו שלש משואות שונות:

א.    במשואה: -X2+6X-5,   Δ חיובית ולכן למשואה 2 פתרונות: X1=1, X2=5
ב.     במשואה: -X2+4X-4,  Δ = 0 ולכן למשואה פתרון אחד: X1=X2=2
ג.      במשואה: -X2+3X-5,  Δ שלילית ולכן למשואה זו אין פתרונות






כעת, נלך עוד צעד קדימה ונכתוב נוסחא אשר תאמר לנו (על סמך הערכים בתאים C6 ו- C8  שבהם חִשַּבְנוּ את פתרונות המשואה) - כמה פתרונות יש למשואה


(בעצם, כבר אמרנו שאפשר לדעת את מספר הפתרונות לפי הדיסקרימיננטה, אבל אנו רוצים לדעת את מספר הפתרונות לפי הפתרונות עצמם.)

בתא B12 נכתוב את הנוסחא הבאה:

    תמונה 032: כיצד נוכל לדעת כמה פתרונות יש לצמד הנוסחאות ב- C6 וב- C8

הסבר:
נפצל את הנוסחא לשני חלקים על מנת להקל על ההסבר:
תמונה 033:שני חלקי הנוסחא-  Main Formula & Wrapper

1)     החלק העיקרי ("לב הנוסחא") –Main Formula -בודק מול תוצאות הנוסחאות המחשבות את פתרונות המשואה: האם התקבל פתרון אחד (כלומר, 2 פתרונות זהים) או שהתקבלו שני פתרונות.
בחלק זה השתמשנו בשלוש פונקציות:
א.    הפונקציה DELTA - פונקציה זו משוה בין שני מספרים ובודקת אם הם זהים. אם כן – מחזירה את הערך: 1 (TRUE), אחרת – מחזירה את הערך: 0 (FALSE).
ב.     הפונקציה MOD - פונקציה זו מחזירה את השארית בחלוקת מספר (=תוצאת הפונקציה DELTA)  במחלק מסוים (במקרה שלנו, המחלק הוא 2). כאשר מחלקים מספר ב-2, השארית יכולה להיות 1 (המחולק הוא מספר אי-זוגי) או שהשארית היא 0 (המחולק הוא מספר זוגי)
ג.      הפונקציה IF "עוטפת" את תוצאת שתי הפונקציות (DELTA ו- MOD). לכן, אם תוצאת ה-MOD  היא 1 (התנאי מתקיים) - למשואה יש פתרון אחד בלבד. ואם תוצאת ה- MOD היא 0 (התנאי לא מתקיים) - למשואה יש שני פתרונות.

2)   את "לב הנוסחא" "עטפנו" בפונקציה IFERROR (Wrapper) אשר "מטפלת" במקרים שבהם אין פתרונות למשואה (כלומר, הערך בתאים C6 ו-C8  איננו מספר). במקרים כאלה, תוצאת הנוסחא תהיה: No Solution

      הערה לסיום:אם במקום C6 ו- C8 נשלב בנוסחא את נוסחאות השרשים המקוריות, כלומר:






                     


 אזי, נוכל לדעת כמה שרשים למשואה גם מבלי לפתור אותה





אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה